Punctiform空間と完全不連結性に関する位相空間論的考察

$C$ を $2$ 点 $x, y$ ($x \neq y$) を含む連結距離空間とする。点 $x$ を固定し、関数 $f \colon C \to \mathbb{R}$ を $f(z) = d(x, z)$ で定義する。距離関数は連続であるから、 $f$ も連続関数である。 $C$ は連結 (connected) であるため、連続写像による像 $f(C)$ も $\mathbb{R}$ の連結部分集合、すなわち区間となる。
$f(x) = d(x, x) = 0$ であり、 $f(y) = d(x, y) > 0$ であるため、 $f(C)$ は少なくとも閉区間 $[0, d(x, y)]$ を含む。閉区間の濃度は連続体の濃度 $\mathfrak{c}$ であるため、 $C$ の濃度も $\mathfrak{c}$ 以上でなければならない。したがって $C$ は非可算である。

対偶として、 $A$ が punctiform でないと仮定して矛盾を導く。定義より、 $A$ には $2$ 点以上を含むコンパクト部分空間 $K$ が存在して、不連結ではない。これより、ある $2$ 点以上を含むコンパクトかつ連結な部分空間 $C \subset K \subset A$ が存在する。補題 2.1 より、この $C$ は非可算である。
しかし、 $C$ は $A$ のコンパクト部分空間でもあるため、「 $A$ が非可算なコンパクト部分空間を含まない」という前提に矛盾する。したがって $A$ は punctiform である。

$X$ は可分距離空間であるため、第2可算 (second-countable) である。すなわち、可算な開基 (countable open base) $\mathcal{B} = \{U_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ を持つ。 $X$ の任意の開集合 $O$ は $\mathcal{B}$ のある部分族の和集合として表されるため、 $O = \bigcup_{n \in S} U_n$ となるような $\mathbb{N}$ の部分集合 $S$ が存在する。
これにより、開集合から $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ への単射が構成できるため、開集合全体の濃度は高々 $2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$ である。閉集合は開集合の補集合であるため、閉集合全体の濃度も高々 $\mathfrak{c}$ である。コンパクト部分空間は Hausdorff 空間である距離空間の部分空間として閉集合であるため、コンパクト部分空間の族 $\mathcal{K}$ の濃度も高々 $\mathfrak{c}$ となる。

コンパクト距離空間 $K$ は第2可算である。Cantor-Bendixsonの定理によれば、第2可算空間の任意の閉集合は、完全集合 (perfect set) （孤立点を持たない閉集合）と高々可算な集合の和として一意に表すことができる。
$K$ は非可算であるため、この分解において完全集合の部分 $P \subset K$ は空ではない。完備距離空間の空でない完全集合の濃度は少なくとも $\mathfrak{c}$ であることが知られている（Cantor集合の構成と同様にして、各段階で交わらない $2$ つの閉球を選ぶことで $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ から $P$ への単射を構成できる）。
一方、補題 2.3 の証明の過程から明らかなように、第2可算空間の部分集合の濃度は高々 $\mathfrak{c}$ である。したがって $K$ の濃度はちょうど $\mathfrak{c}$ である。

$X$ を任意の可分距離空間とする。 $X$ の部分集合であって、非可算なコンパクト部分空間となっているもの全体の族を $\mathcal{K}$ とする。もし $\mathcal{K} = \varnothing$ であれば、補題 2.2 より $X$ 自身が punctiform となるため、 $X = X \cup \varnothing$ として分割でき、証明は終わる。

以下、 $\mathcal{K} \neq \varnothing$ の場合を考える。補題 2.3 より $\mathcal{K}$ の濃度は高々 $\mathfrak{c}$ であるから、ある順序数 $\kappa \le \mathfrak{c}$ を用いて $\mathcal{K}$ を整列 (well-order) し、 $$ \mathcal{K} = \{ K_\alpha \mid \alpha < \kappa \} $$ と番号付けることができる。

超限帰納法 (transfinite induction) を用いて、各順序数 $\alpha < \kappa$ に対し、 $2$ つの点 $x_\alpha, y_\alpha \in X$ を以下の条件を満たすように選択していく。

• $x_\alpha, y_\alpha \in K_\alpha$
• $x_\alpha \neq y_\alpha$
• $x_\alpha, y_\alpha \notin \{ x_\beta, y_\beta \mid \beta < \alpha \}$

この選択が常に可能であることを示す。順序数 $\alpha < \kappa$ の段階に達したとする。これまでに選ばれた点の集合を $S_\alpha = \{ x_\beta, y_\beta \mid \beta < \alpha \}$ とおく。各 $\beta$ について $2$ 個以下の点が選ばれているため、 $S_\alpha$ の濃度は $|S_\alpha| \le 2|\alpha|$ である。ここで $\alpha < \kappa \le \mathfrak{c}$ であるから、無限基数の性質より $|S_\alpha| < \mathfrak{c}$ が成り立つ。
一方で、 $K_\alpha \in \mathcal{K}$ は非可算なコンパクト距離空間であるため、補題 2.4 よりその濃度は $|K_\alpha| = \mathfrak{c}$ である。したがって、 $K_\alpha \smallsetminus S_\alpha$ の濃度は $\mathfrak{c}$ であり、とくにこの差集合は空ではなく、無限個の点を含む。よって、この差集合から相異なる $2$ 点 $x_\alpha$ と $y_\alpha$ を選ぶことが可能である。

このようにしてすべての $\alpha < \kappa$ について点の選択が完了したのち、集合 $A$ と $B$ を次のように定義する。 $$ A = \{ x_\alpha \mid \alpha < \kappa \} $$ $$ B = X \smallsetminus A $$ 構成により、 $X = A \cup B$ である。次に、 $A$ と $B$ がともに punctiform であることを示す。補題 2.2 より、それぞれが非可算なコンパクト部分空間を含まないことを示せば十分である。

もし $A$ が非可算なコンパクト部分空間 $K$ を含んだと仮定する。このとき $K \in \mathcal{K}$ であるから、ある $\alpha < \kappa$ が存在して $K = K_\alpha$ となる。しかし、構成手順により $y_\alpha \in K_\alpha$ かつ $y_\alpha \notin A$ （ $y_\alpha$ は $x_\beta$ たちとは異なるように選ばれているため）となる。これは $K_\alpha \subset A$ という仮定に矛盾する。したがって、 $A$ は非可算なコンパクト部分空間を含まず、 $A$ は punctiform である。

同様に、もし $B$ が非可算なコンパクト部分空間 $K$ を含んだと仮定する。同じく $K = K_\alpha$ となる $\alpha < \kappa$ が存在するが、構成により $x_\alpha \in K_\alpha$ かつ $x_\alpha \in A$ である。 $A$ と $B$ は互いに素であるため $x_\alpha \notin B$ となり、 $K_\alpha \subset B$ に矛盾する。したがって、 $B$ も非可算なコンパクト部分空間を含まず、 $B$ は punctiform である。

以上より、任意の可分距離空間 $X$ は $2$ つの punctiform 部分空間 $A$ と $B$ の和として書けるため、 $X$ は常に可算個（この場合は $2$ 個）の punctiform 部分空間の和となり、 $\sigma$-punctiform の定義を満たす。

$X$ を完全不連結な位相空間とする。 $X$ が punctiform であることを示すには、 $X$ の任意のコンパクト部分空間 $K$ が、 $2$ 点以上を含む連結な部分空間を持たないことを示せばよい。
$C \subset K$ を $K$ の任意の連結な部分空間とする。部分空間の位相の定義より、 $C$ は $X$ 全体から見ても連結な部分空間である。 $X$ は完全不連結であると仮定しているため、 $X$ の任意の連結な部分空間は空集合 $\varnothing$ であるか、あるいはただ $1$ つの点からなる集合でなければならない。
したがって、 $C$ も空集合または $1$ 点集合でなければならない。これは、 $K$ が $2$ 点以上を含む連結な部分空間を持たないことを意味している。よって、定義より $X$ は punctiform である。

非可算な濃度を持つ集合 $X$ を一つ固定する（例えば実数全体の集合 $X = \mathbb{R}$ ）。この集合 $X$ に対して、以下のように開集合族 $\mathcal{O}$ を定めて位相を導入する。 $$ \mathcal{O} = \{ U \subset X \mid X \smallsetminus U \text{ は高々可算である} \} \cup \{ \varnothing \} $$ この位相は補可算位相 (cocountable topology) と呼ばれる。実際、 $\varnothing, X \in \mathcal{O}$ は定義より明らかであり、開集合の任意の和集合および有限個の共通部分が再び $\mathcal{O}$ に属することは、集合の演算と高々可算な集合の性質から直ちに確かめられる。

ステップ 1： $X$ は完全不連結ではない
まず、 $X$ が連結 (connected) であることを示す。もし $X$ が不連結であると仮定すると、互いに素な $2$ つの空でない開集合 $U, V \in \mathcal{O}$ が存在して $X = U \cup V$ と表される。
$U$ と $V$ は空ではないため、定義より $X \smallsetminus U$ および $X \smallsetminus V$ はともに高々可算な集合である。De Morganの法則より、 $$ X \smallsetminus (U \cup V) = (X \smallsetminus U) \cap (X \smallsetminus V) $$ が成り立つ。左辺は $X \smallsetminus X = \varnothing$ である。一方で、右辺は $2$ つの高々可算な集合の共通部分であるため、やはり高々可算である。
ここで、 $U$ と $V$ が互いに素であるという仮定 $U \cap V = \varnothing$ を用いると、 $$ X = X \smallsetminus (U \cap V) = (X \smallsetminus U) \cup (X \smallsetminus V) $$ となる。右辺は高々可算な集合同士の和集合であるから、高々可算な集合である。しかし、これは $X$ が非可算な集合であるという最初の設定に矛盾する。
したがって、 $X$ は不連結になり得ず、連結な位相空間である。 $X$ 自身が連結であり、かつ非可算（当然 $2$ 点以上を含む）であるため、 $X$ の連結成分は $X$ 自身となり、 $1$ 点からなるものではない。よって、 $X$ は完全不連結ではない。

ステップ 2： $X$ は punctiform である
次に、 $X$ が punctiform であることを示すために、 $X$ の任意のコンパクト部分空間 $K$ が有限集合であることを示す。有限な部分空間は（任意の $1$ 点集合が閉集合であり、さらに部分空間の位相のもとで離散位相となるため）明らかに完全不連結であり、 $2$ 点以上を含む連結な部分空間を持たないからである。
$K \subset X$ をコンパクト部分空間とし、 $K$ が無限集合であると仮定して矛盾を導く。 $K$ は無限集合であるため、 $K$ から可算無限個の相異なる点からなる部分集合 $A = \{ x_1, x_2, \dots, x_n, \dots \}$ を取り出すことができる。
各 $n \in \mathbb{N}$ に対して、集合 $U_n$ を次のように定義する。 $$ U_n = X \smallsetminus (A \smallsetminus \{ x_n \}) $$ ここで、 $A \smallsetminus \{ x_n \}$ は可算集合 $A$ の部分集合であるから高々可算である。したがって、その補集合である $U_n$ は開集合となる（すなわち $U_n \in \mathcal{O}$ ）。
また、開集合 $U_\infty$ を次のように定義する。 $$ U_\infty = X \smallsetminus A $$ $A$ は可算集合であるため、これも開集合である。
これらからなる開集合の族 $\mathcal{U} = \{ U_n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ U_\infty \}$ を考える。 $X$ の任意の点 $x$ について、 $x \notin A$ ならば $x \in U_\infty$ であり、 $x \in A$ ならばある自然数 $m$ について $x = x_m$ となり $x \in U_m$ となる。したがって、 $\mathcal{U}$ は $X$ の開被覆であり、とくに部分空間 $K$ の開被覆にもなる。
$K$ はコンパクトであると仮定したため、 $\mathcal{U}$ から有限個の開集合を選んで $K$ を覆うことができる。すなわち、ある有限な部分被覆 $$ \{ U_{n_1}, U_{n_2}, \dots, U_{n_k}, U_\infty \} $$ が存在する。
しかし、構成より各 $U_{n_i}$ は $A$ の元のうち $x_{n_i}$ のみを含み、 $U_\infty$ は $A$ の元を一つも含まない。したがって、この有限部分被覆に含まれる $A$ の元は $x_{n_1}, x_{n_2}, \dots, x_{n_k}$ の有限個のみである。一方で $A$ は可算無限集合であり $A \subset K$ であるため、この有限部分被覆は $A$ のすべての元を覆うことができず、ましてや $K$ 全体を覆うことは不可能である。これは $K$ がコンパクトであることに矛盾する。
よって仮定は誤りであり、 $X$ の任意のコンパクト部分空間 $K$ は有限集合でなければならない。これにより、 $X$ が punctiform であることが示された。